Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $0\le x,y\le 1$ và ${{\log...

Điều kiện:
$\left\{ \begin{aligned}
& 0\le x,y\le 1 \\
& \dfrac{x+y}{1-xy}>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0\le x,y\le 1 \\
& x+y>0;1-xy>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó
${{\log }_{3}}\left( \dfrac{x+y}{1-xy} \right)+\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)-2=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+y \right)-{{\log }_{3}}\left( 1-xy \right)+x+y+xy-1=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+y \right)+\left( x+y \right)={{\log }_{3}}\left( 1-xy \right)+\left( 1-xy \right)\text{ (*)}$
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{3}}t+t$ với $t>0$, ta thấy $f'(t)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$. Suy ra $(*)\Leftrightarrow x+y=1-xy$.
Suy ra $P=2x+y$ $=x+x+y$ $=x+1-xy$ $=1+x(1-y)\ge 1$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=0$, $y=1$ (thỏa các điều kiện của đề bài).
Vậy, ${{P}_{Min}}=1$.