Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng với n ∈ N* thì
\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = {{n(n + 1)} \over 2}\)
\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = {{n(n + 1)} \over 2}\)
Phương pháp giải
- Xét với \(n=1\), chứng minh đẳng thức đúng với \(n=1\).
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge 1\), chứng minh đẳng thức đúng với \(n=k+1\).
Lời giải chi tiết
- Khi \(n = 1, VT = 1\)
\(\displaystyle VP = {{1(1 + 1)} \over 2} = 1\)
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), nghĩa là:
\(\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + ... + k = {{k(k + 1)} \over 2}\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là:
\(\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)\) \(\displaystyle = {{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + (k + 1) \) \(\displaystyle = {{k(k + 1)} \over 2} + (k + 1)\)
\(\displaystyle = {{k(k + 1) + 2(k + 1)} \over 2}\) \(\displaystyle ={{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)
Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*
- Xét với \(n=1\), chứng minh đẳng thức đúng với \(n=1\).
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge 1\), chứng minh đẳng thức đúng với \(n=k+1\).
Lời giải chi tiết
- Khi \(n = 1, VT = 1\)
\(\displaystyle VP = {{1(1 + 1)} \over 2} = 1\)
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), nghĩa là:
\(\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + ... + k = {{k(k + 1)} \over 2}\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là:
\(\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)\) \(\displaystyle = {{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + (k + 1) \) \(\displaystyle = {{k(k + 1)} \over 2} + (k + 1)\)
\(\displaystyle = {{k(k + 1) + 2(k + 1)} \over 2}\) \(\displaystyle ={{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)
Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*