Bài 1 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb N}^*\), ta có đẳng thức:

Câu a​

\(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\dfrac{n(3n+1)}{2}\)
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).
Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng là \(2\), vế phải bằng \(\dfrac{1.(3.1+1)}{2} = 2\).
Do đó hệ thức a) đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\)
Giả sử đẳng thức a) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 \) \(=  \dfrac{k(3k+1)}{2}\)
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh
\(S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) \) \(=   \dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
\(S_{k+1}= [2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1] + (3(k + 1) – 1) \)
\(= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \)
\(= \dfrac{{k(3k + 1)}}{2} + 3k + 2\)
\(= \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\)
\(= \frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left({3k + 4} \right)}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left({3k + 3 + 1} \right)}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left({k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}\)
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)

Câu b​

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}\)
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 1\), vế trái bằng \(\dfrac{1}{2}\), vế phải bằng \(\dfrac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng với \(n=1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\). ​
Giả sử hệ thức b) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}\) \(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}\)
Ta phải chứng minh \(S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
\(S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}} \)
\(=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\)
\(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\) \(= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)

Câu c​

\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}\) \(= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Lời giải chi tiết:
Với \(n = 1\), vế trái bằng \(1\), vế phải bằng \(\dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1\) nên hệ thức c) đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\). ​
Giả sử hệ thức c) đúng với \(n = k  ≥ 1\), tức là
\(S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}\) \(=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
Ta phải chứng minh \(S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\({S_{k + 1}}= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}+(k+1)^2 \)
\(= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\)
\(= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{{k\left({k + 1} \right)\left({2k + 1} \right) + 6{{\left({k + 1} \right)}^2}}}{6}\\
= \frac{{\left({k + 1} \right)\left[ {k\left({2k + 1} \right) + 6\left({k + 1} \right)} \right]}}{6}\\
= \frac{{\left({k + 1} \right)\left({2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left({k + 1} \right)\left({2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left({k + 1} \right)\left({k + 2} \right)\left({2k + 3} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left({k + 1} \right)\left({k + 2} \right)\left({2k + 2 + 1} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left({k + 1} \right)\left({k + 2} \right)\left[ {2\left({k + 1} \right) + 1} \right]}}{6}
\end{array}\)
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  \(n \in {\mathbb N}^*\).