Google
Câu hỏi: Cho \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\) và \({T_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
a) So sánh \({S_1}\) và \({T_1}\); \({S_2}\) và \({T_2}\);\({S_3}\) và \({T_3}\).
b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
a) So sánh \({S_1}\) và \({T_1}\); \({S_2}\) và \({T_2}\);\({S_3}\) và \({T_3}\).
b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) \({S_1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\); \({T_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}} = \frac{3}{2}\)
Do đó \({S_1} = {T_1}\)
\({S_2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}\); \({T_2} = 2 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}\)
Do đó \({S_2} = {T_2}\)
\({S_3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}\); \({T_3} = 2 - \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}\)
Do đó \({S_3} = {T_3}\)
b) Dự doán: \({S_n} = {T_n}\) từ đó có công thức tính \({S_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\)
Chứng minh:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}}\) đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({S_{k + 1}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({S_k} = 2 - \frac{1}{{{2^k}}}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = {S_k} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\\ = 2 - \frac{1}{{{2^k}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{2}{{{2^{k + 1}}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) \({S_1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\); \({T_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}} = \frac{3}{2}\)
Do đó \({S_1} = {T_1}\)
\({S_2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}\); \({T_2} = 2 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}\)
Do đó \({S_2} = {T_2}\)
\({S_3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}\); \({T_3} = 2 - \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}\)
Do đó \({S_3} = {T_3}\)
b) Dự doán: \({S_n} = {T_n}\) từ đó có công thức tính \({S_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\)
Chứng minh:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}}\) đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({S_{k + 1}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({S_k} = 2 - \frac{1}{{{2^k}}}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = {S_k} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\\ = 2 - \frac{1}{{{2^k}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{2}{{{2^{k + 1}}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).