Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I là điểm thuộc AB; đặt
a) Khi góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60°, hãy xác định vj trí của điểm I.
b) Tính theo a và x diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI). Tìm x để diện tích ấy là nhỏ nhấ.
c) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (B’DI) theo a và x.
a) Khi góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60°, hãy xác định vj trí của điểm I.
b) Tính theo a và x diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI). Tìm x để diện tích ấy là nhỏ nhấ.
c) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (B’DI) theo a và x.
Lời giải chi tiết
A) Cách 1.
Đặt α là góc giữa DI và AC’ thì
Khi ấy
Hệ thức trên xác định vị trí điểm I.
Cách 2.
Kẻ
Do giả thiết góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60° nên
Ta có :
- Trường hơp
hay
Trường hợp
Điều này không xảy ra vì 0 < x < a.
Vậy khi
b) Gọi
thì thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp(B’DI) là tứ giác DIB’K.
Dễ thấy đó là hình bình hành
Mặt khác
và
Từ đó
Dễ thấy
c) Gọi khoảng cách từ C đến mp(B’ID), do tứ diện CDEF có CD, CE, CF đôi một vuông góc nên
Mặt khác do AD // BE nên
từ đó
và
Tương tự như trên, ta có
Như vậy
do vậy
A) Cách 1.
Đặt α là góc giữa DI và AC’ thì
Khi ấy
Hệ thức trên xác định vị trí điểm I.
Cách 2.
Kẻ
Do giả thiết góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60° nên
Ta có :
- Trường hơp
hay
Trường hợp
Điều này không xảy ra vì 0 < x < a.
Vậy khi
b) Gọi
thì thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp(B’DI) là tứ giác DIB’K.
Dễ thấy đó là hình bình hành
Mặt khác
và
Từ đó
Dễ thấy
c) Gọi khoảng cách từ C đến mp(B’ID), do tứ diện CDEF có CD, CE, CF đôi một vuông góc nên
Mặt khác do AD // BE nên
từ đó
và
Tương tự như trên, ta có
Như vậy
do vậy