Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho
a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất.
b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN // A’C.
a) Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất.
b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN // A’C.
Lời giải chi tiết
A) Kẻ thì và .
Kẻ thì .
Vậy .
Ta có:
Từ đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi .
b) Khi thì
Từ đó hay .
Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có .
Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.
Khi thì NB = 2ND.
Gọi I là trung điểm của AD thì ta có I, N, C thẳng hàng
Tương tự ta cũng có các điểm I, M, A’ thẳng hàng.
Xét tam giác A’IC ta có:
Vậy MN // A’C.
A) Kẻ
Kẻ
Vậy
Ta có:
Từ đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi
b) Khi
Từ đó
Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có
Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.
Khi
Gọi I là trung điểm của AD thì ta có I, N, C thẳng hàng
Tương tự ta cũng có các điểm I, M, A’ thẳng hàng.
Xét tam giác A’IC ta có:
Vậy MN // A’C.