Google
Câu hỏi: Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {ac \ne 0} \right)\) có hai nghiệm là \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \). Chứng minh rằng:
\(a.{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b.\sin \left({\alpha + \beta } \right)\cos \left({\alpha + \beta } \right) + c.{\cos ^2}\left({\alpha + \beta } \right) = c\).
\(a.{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b.\sin \left({\alpha + \beta } \right)\cos \left({\alpha + \beta } \right) + c.{\cos ^2}\left({\alpha + \beta } \right) = c\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\tan \alpha + \tan \beta = - \dfrac{b}{a},\tan \alpha \tan \beta = \dfrac{c}{a}.\)
• Nếu \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0\) thì vế trái của đẳng thức đã cho là
\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b\sin \left({\alpha + \beta } \right)\cos \left({\alpha + \beta } \right) + c{\cos ^2}\left({\alpha + \beta } \right)\\ = {\cos ^2}\left({\alpha + \beta } \right)\left[ {a{{\tan }^2}\left({\alpha + \beta } \right) + b\tan \left({\alpha + \beta } \right) + c} \right]\\ = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left({\alpha + \beta } \right)}}\left[ {a{{\tan }^2}\left({\alpha + \beta } \right) + b\tan \left({\alpha + \beta } \right) + c} \right] \left(* \right)\end{array}\)
Nhưng ta có \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \dfrac{b}{{c - a}}\)
(để ý rằng \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0 \Leftrightarrow c \ne a\)) nên thay giá trị của \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right)\) vào biểu thức (*), sau khi đơn giản ta được biểu thức đó bằng c.
• Nếu \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 0\left({ \Leftrightarrow \tan \alpha \tan \beta = 1 \Leftrightarrow a = c} \right)\) thì \({\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = 1\), nên vế trái của đẳng thức đã cho bằng \(a{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = a = c.\)
Ta có \(\tan \alpha + \tan \beta = - \dfrac{b}{a},\tan \alpha \tan \beta = \dfrac{c}{a}.\)
• Nếu \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0\) thì vế trái của đẳng thức đã cho là
\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b\sin \left({\alpha + \beta } \right)\cos \left({\alpha + \beta } \right) + c{\cos ^2}\left({\alpha + \beta } \right)\\ = {\cos ^2}\left({\alpha + \beta } \right)\left[ {a{{\tan }^2}\left({\alpha + \beta } \right) + b\tan \left({\alpha + \beta } \right) + c} \right]\\ = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left({\alpha + \beta } \right)}}\left[ {a{{\tan }^2}\left({\alpha + \beta } \right) + b\tan \left({\alpha + \beta } \right) + c} \right] \left(* \right)\end{array}\)
Nhưng ta có \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \dfrac{b}{{c - a}}\)
(để ý rằng \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0 \Leftrightarrow c \ne a\)) nên thay giá trị của \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right)\) vào biểu thức (*), sau khi đơn giản ta được biểu thức đó bằng c.
• Nếu \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 0\left({ \Leftrightarrow \tan \alpha \tan \beta = 1 \Leftrightarrow a = c} \right)\) thì \({\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = 1\), nên vế trái của đẳng thức đã cho bằng \(a{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = a = c.\)