Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có \(BC = B{\rm{D}} = AC = A{\rm{D}}; AB = a, C{\rm{D}} = a\sqrt 3 \). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, IJ = a.
a) Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.
a) Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.
Lời giải chi tiết
A)
\(\eqalign{
& \Delta BCD = \Delta ACD(c. C. C) \cr
& \Rightarrow BJ =AJ \cr} \)
Do đó \(\Delta ABJ\) cân tại J, suy ra \(IJ \bot AB\)
Chứng minh tương tự: \(IJ \bot CD\)
Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(I{A^2} + O{I^2} = O{J^2} + J{D^2}\), đặt \(I{\rm{O}} = x\) ta có đẳng thức
\(\eqalign{ & {{{a^2}} \over 4} + {x^2} = {\left( {a - x} \right)^2} + {\left({{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow x = {3 \over 4}a \cr} \)
Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng
\(\sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{9{{\rm{a}}^2}} \over {16}}} = {{a\sqrt {13} } \over 4}\).
A)
\(\eqalign{
& \Delta BCD = \Delta ACD(c. C. C) \cr
& \Rightarrow BJ =AJ \cr} \)
Do đó \(\Delta ABJ\) cân tại J, suy ra \(IJ \bot AB\)
Chứng minh tương tự: \(IJ \bot CD\)
Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(I{A^2} + O{I^2} = O{J^2} + J{D^2}\), đặt \(I{\rm{O}} = x\) ta có đẳng thức
\(\eqalign{ & {{{a^2}} \over 4} + {x^2} = {\left( {a - x} \right)^2} + {\left({{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow x = {3 \over 4}a \cr} \)
Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng
\(\sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{9{{\rm{a}}^2}} \over {16}}} = {{a\sqrt {13} } \over 4}\).