Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số
\(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) và \(g\left( x \right) = {1 \over 4}\cos 4x\)
Chứng minh rằng
\(f'\left( x \right) = g'\left(x \right) \left({\forall x \in R} \right)\)
\(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) và \(g\left( x \right) = {1 \over 4}\cos 4x\)
Chứng minh rằng
\(f'\left( x \right) = g'\left(x \right) \left({\forall x \in R} \right)\)
Lời giải chi tiết
Cách 1. Với mọi \(x \in R\), ta có
\(\eqalign{ f'\left( x \right)& = 4{\sin ^3}x\cos x + 4{\cos ^3}x\left({ - \sin x} \right) \cr&= 4\sin x\cos x({\sin ^2}x - {\cos ^2}x) \cr& = 2\sin 2x\left({ - \cos 2x} \right) = - \sin 4x. \cr} \)
Mặt khác ta có
\(g'\left( x \right) = {1 \over 4}\left({ - 4\sin 4x} \right) = - \sin 4x.\)
Vậy với mọi \(x \in R\), ta có
\(f'\left( x \right) = g'\left(x \right).\)
Cách 2. Ta chứng minh rằng \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) khác nhau một hằng số; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có
\(\eqalign{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x &= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr& = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x\cr& = 1 - {1 \over 2}.{{1 - \cos 4x} \over 2} \cr&= {3 \over 4} + {1 \over 4}\cos 4x \cr} \)
Tức là \(f\left( x \right) = {3 \over 4} = g\left(x\right) \left({\forall x \in R} \right).\)
Vậy \(f'\left( x \right) = g'\left(x \right).\)
Cách 1. Với mọi \(x \in R\), ta có
\(\eqalign{ f'\left( x \right)& = 4{\sin ^3}x\cos x + 4{\cos ^3}x\left({ - \sin x} \right) \cr&= 4\sin x\cos x({\sin ^2}x - {\cos ^2}x) \cr& = 2\sin 2x\left({ - \cos 2x} \right) = - \sin 4x. \cr} \)
Mặt khác ta có
\(g'\left( x \right) = {1 \over 4}\left({ - 4\sin 4x} \right) = - \sin 4x.\)
Vậy với mọi \(x \in R\), ta có
\(f'\left( x \right) = g'\left(x \right).\)
Cách 2. Ta chứng minh rằng \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) khác nhau một hằng số; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có
\(\eqalign{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x &= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr& = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x\cr& = 1 - {1 \over 2}.{{1 - \cos 4x} \over 2} \cr&= {3 \over 4} + {1 \over 4}\cos 4x \cr} \)
Tức là \(f\left( x \right) = {3 \over 4} = g\left(x\right) \left({\forall x \in R} \right).\)
Vậy \(f'\left( x \right) = g'\left(x \right).\)