Google
Câu hỏi: Cho cấp số cộng (un) với công sai khác 0. Biết rằng các số u1u2, u2u3 và u3u1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.
Lời giải chi tiết
Vì cấp số cộng (un) có công sai khác 0 nên các số u1, u2, u3 đôi một khác nhau \(\Rightarrow {\rm{ }}{u_1}.{u_2} \ne {\rm{ }}0\) và \(q\ne1\).
Vì u1u2, u2u3 và u3u1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_2}{u_3} = q.{u_1}{u_2}\\
{u_3}{u_1} = {q^2}.{u_1}{u_2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_3} = q{u_1} \left(1 \right)\\
{u_3} = {q^2}{u_2} \left(2 \right)
\end{array} \right.\)
Lấy (2) chia (1) ta được:\(1 = \frac{{q{u_2}}}{{{u_1}}} \Leftrightarrow {u_1} = q{u_2}\)
Vì \({u_1},{u_2},{u_3}\) là một cấp số cộng nên \({u_1} + {\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}\)
\(\Rightarrow q{u_2} + {q^2}{u_2} = 2{u_2} \)
\(\Leftrightarrow {u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \)
\(\Leftrightarrow q + {q^2} = 2 \)
\(\Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = 1\left({\text{loại vì }q \ne 1} \right)\\
q = - 2
\end{array} \right.\)
Vì cấp số cộng (un) có công sai khác 0 nên các số u1, u2, u3 đôi một khác nhau \(\Rightarrow {\rm{ }}{u_1}.{u_2} \ne {\rm{ }}0\) và \(q\ne1\).
Vì u1u2, u2u3 và u3u1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_2}{u_3} = q.{u_1}{u_2}\\
{u_3}{u_1} = {q^2}.{u_1}{u_2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_3} = q{u_1} \left(1 \right)\\
{u_3} = {q^2}{u_2} \left(2 \right)
\end{array} \right.\)
Lấy (2) chia (1) ta được:\(1 = \frac{{q{u_2}}}{{{u_1}}} \Leftrightarrow {u_1} = q{u_2}\)
Vì \({u_1},{u_2},{u_3}\) là một cấp số cộng nên \({u_1} + {\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}\)
\(\Rightarrow q{u_2} + {q^2}{u_2} = 2{u_2} \)
\(\Leftrightarrow {u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \)
\(\Leftrightarrow q + {q^2} = 2 \)
\(\Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = 1\left({\text{loại vì }q \ne 1} \right)\\
q = - 2
\end{array} \right.\)