Google
Câu hỏi: Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Chứng minh rằng nếu \(\lim {u_n} = 0\) và tồn tại số dương sao cho \(\left| {{v_n}} \right| \le c\) với mọi n thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết
Với mọi n,
\(\left| {{u_n}{v_n}} \right| = \left| {{u_n}} \right|\left| {{v_n}} \right| \le c\left| {{u_n}} \right|\)
Vì \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) nên \(\lim \left( {c\left| {{u_n}} \right|} \right) = 0.\) Từ đó suy ra
\(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = 0\)
Với mọi n,
\(\left| {{u_n}{v_n}} \right| = \left| {{u_n}} \right|\left| {{v_n}} \right| \le c\left| {{u_n}} \right|\)
Vì \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) nên \(\lim \left( {c\left| {{u_n}} \right|} \right) = 0.\) Từ đó suy ra
\(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = 0\)