Google
Câu hỏi: Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2mx + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2mx + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2m{x} + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {1 - 2m} \right)x \le 1 - 4{m^2} \left(1 \right)}\\{x > - 3. \left(2 \right)}\end{array}} \right.\)
Nếu \(m < \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \le 1 + 2m,\) nên hệ (I) có nghiệm khi \(- 3 < 1 + 2m,\) hay \(m > -2\). Kết hợp với điều kiện \(m < \dfrac{1}{2},\) ta có \(- 2 < m < \dfrac{1}{2}.\)
Nếu \(m = \dfrac{1}{2}\) thì (1) có dạng \(0. X ≤ 0\) (luôn đúng với mọi x ∈ R), nên hệ (I) luôn có nghiệm \(x > -3.\)
Nếu \(m > \dfrac{1}{2}\) thì \((1) ⇔ x ≥ 1 + 2m\), nên hệ (I) luôn có nghiệm \(x ≥ 1 + 2m.\)
Vậy khi \(m > -2\) thì hệ (I) luôn có nghiệm.
Ta có:
\(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2m{x} + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {1 - 2m} \right)x \le 1 - 4{m^2} \left(1 \right)}\\{x > - 3. \left(2 \right)}\end{array}} \right.\)
Nếu \(m < \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \le 1 + 2m,\) nên hệ (I) có nghiệm khi \(- 3 < 1 + 2m,\) hay \(m > -2\). Kết hợp với điều kiện \(m < \dfrac{1}{2},\) ta có \(- 2 < m < \dfrac{1}{2}.\)
Nếu \(m = \dfrac{1}{2}\) thì (1) có dạng \(0. X ≤ 0\) (luôn đúng với mọi x ∈ R), nên hệ (I) luôn có nghiệm \(x > -3.\)
Nếu \(m > \dfrac{1}{2}\) thì \((1) ⇔ x ≥ 1 + 2m\), nên hệ (I) luôn có nghiệm \(x ≥ 1 + 2m.\)
Vậy khi \(m > -2\) thì hệ (I) luôn có nghiệm.