Google
Câu hỏi: Bạn Nam đã giải bất phương trình
\(\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\) (1)
Như sau :
Điều kiện :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left({{\rm{x}} + 1} \right) \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge 1.\)
Khi đó bất phương trình (1) có dạng
\(\sqrt {\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left({{\rm{x}} + 1} \right)} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\)
Chia hai vế cho \(\sqrt {{\rm{x}} + 1} > 0,\) ta có
\(\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 \ge \sqrt {{\rm{x}} + {\rm{1}}} \)
Vì x ≥ 1 nên \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} < \sqrt {{\rm{x}} + 1} ,\) do đó \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 < \sqrt {{\rm{x}} + 1} \)
Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm.
Theo em, bạn Nam giải đúng hay sai, vì sao ?
\(\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\) (1)
Như sau :
Điều kiện :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left({{\rm{x}} + 1} \right) \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge 1.\)
Khi đó bất phương trình (1) có dạng
\(\sqrt {\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left({{\rm{x}} + 1} \right)} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\)
Chia hai vế cho \(\sqrt {{\rm{x}} + 1} > 0,\) ta có
\(\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 \ge \sqrt {{\rm{x}} + {\rm{1}}} \)
Vì x ≥ 1 nên \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} < \sqrt {{\rm{x}} + 1} ,\) do đó \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 < \sqrt {{\rm{x}} + 1} \)
Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm.
Theo em, bạn Nam giải đúng hay sai, vì sao ?
Lời giải chi tiết
Nhận thấy rằng \(x = -1\) là nghiệm của bất phương trình (1). Do đó bạn Nam giải sai. Sai lầm của bạn Nam ở chỗ :
Từ \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left({II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\)
(thấy ngay \(x = -1\) là nghiệm của (I) nhưng không là nghiệm của (II)).
Suy luận đúng là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \ge 0}\\{A \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{A}} = 0\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A > 0}\end{array}} \right.\)
Nhận thấy rằng \(x = -1\) là nghiệm của bất phương trình (1). Do đó bạn Nam giải sai. Sai lầm của bạn Nam ở chỗ :
Từ \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left({II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\)
(thấy ngay \(x = -1\) là nghiệm của (I) nhưng không là nghiệm của (II)).
Suy luận đúng là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \ge 0}\\{A \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{A}} = 0\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A > 0}\end{array}} \right.\)