Google
Câu hỏi: Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^n}xdx} \). Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\). Từ đó hãy tính \({I_5}\)
Lời giải chi tiết
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \(u = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 1}}x, v' = c{\rm{os}}x\) suy ra
\({I_n} = \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{n - 2}}x.{{\sin }^2}xdx} \)
Thay \({\sin ^2}x = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\), ta có điều cần chứng minh.
Suy ra \({I_5} = {4 \over 5}{I_3} = {4 \over 5}.{2 \over 3}{I_1} = {8 \over {15}}\)
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \(u = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 1}}x, v' = c{\rm{os}}x\) suy ra
\({I_n} = \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{n - 2}}x.{{\sin }^2}xdx} \)
Thay \({\sin ^2}x = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\), ta có điều cần chứng minh.
Suy ra \({I_5} = {4 \over 5}{I_3} = {4 \over 5}.{2 \over 3}{I_1} = {8 \over {15}}\)