Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
\(1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\) (1)
\(1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\) (1)
Lời giải chi tiết
+) Với n = 1 ta có \(1 = {{1\left( {1 + 1} \right)} \over 2}\) (đúng).
Vậy (1) đúng với n = 1
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\) tức là phải chứng minh :
\(1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = {{\left({k + 1} \right)\left({k + 2} \right)} \over 2}\)
Thật vậy ta có :
\(\eqalign{
& 1 + 2 + ... + k + \left({k + 1} \right) \cr
& = {{k\left({k + 1} \right)} \over 2} + \left({k + 1} \right) \cr
& = {{k\left({k + 1} \right) + 2\left({k + 1} \right)} \over 2} \cr
& = {{\left({k + 1} \right)\left({k + 2} \right)} \over 2} \cr} \)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.
+) Với n = 1 ta có \(1 = {{1\left( {1 + 1} \right)} \over 2}\) (đúng).
Vậy (1) đúng với n = 1
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\) tức là phải chứng minh :
\(1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = {{\left({k + 1} \right)\left({k + 2} \right)} \over 2}\)
Thật vậy ta có :
\(\eqalign{
& 1 + 2 + ... + k + \left({k + 1} \right) \cr
& = {{k\left({k + 1} \right)} \over 2} + \left({k + 1} \right) \cr
& = {{k\left({k + 1} \right) + 2\left({k + 1} \right)} \over 2} \cr
& = {{\left({k + 1} \right)\left({k + 2} \right)} \over 2} \cr} \)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.