Google
Câu hỏi: Với mỗi số nguyên dương n, đặt \({u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\) (1) . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học:
+ Chứng minh (1) đúng với \(n=1\).
+ Giả sử (1) đúng với \(n=k\).
+ Chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\).
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 1\), ta có:
\({u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} \)\(= 7 + 3 = 10\vdots\) \(5\)
Suy ra (1) đúng khi \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:
\({u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]\) \(\vdots\) \(5\)
+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\)
Thật vậy, ta có :
\(\eqalign{
& {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left({k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left({k + 1} \right) - 1}} \cr
& = {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} \cr&= {7.2^{2k - 2 + 2}} + {3^{2k - 1 + 2}}\cr&= {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr
& ={4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\cr&= 4\left({{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5.{3^{2k - 1}} \cr
& = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}} \cr} \)
Vì \(u_k \) \(⋮\) \(5\) (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra \({u_{k + 1}}\) chia hết cho \(5\) ta được điều cần chứng minh.
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học:
+ Chứng minh (1) đúng với \(n=1\).
+ Giả sử (1) đúng với \(n=k\).
+ Chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\).
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 1\), ta có:
\({u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} \)\(= 7 + 3 = 10\vdots\) \(5\)
Suy ra (1) đúng khi \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:
\({u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]\) \(\vdots\) \(5\)
+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\)
Thật vậy, ta có :
\(\eqalign{
& {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left({k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left({k + 1} \right) - 1}} \cr
& = {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} \cr&= {7.2^{2k - 2 + 2}} + {3^{2k - 1 + 2}}\cr&= {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr
& ={4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\cr&= 4\left({{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5.{3^{2k - 1}} \cr
& = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}} \cr} \)
Vì \(u_k \) \(⋮\) \(5\) (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra \({u_{k + 1}}\) chia hết cho \(5\) ta được điều cần chứng minh.