Google
Câu hỏi: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
a) \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\)
b) \(1 + 4 + 9 + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
c) \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{n - 1}} = {2^n} - 1\)
a) \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\)
b) \(1 + 4 + 9 + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
c) \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{n - 1}} = {2^n} - 1\)
Phương pháp giải
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1.2 = \frac{{1.(1 + 1).(1 + 2)}}{3}\)
Vậy a) đúng với \(n = 1\)
Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}\)
Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)\\ = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3} + (k + 1)(k + 2)\\ = (k + 1)(k + 2)\left[ {\frac{k}{3} + 1} \right]\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\end{array}\)
Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)
Vậy b) đúng với \(n = 1\)
Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)
Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)
Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
c) Ta chứng minh c) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = {2^1} - 1\)
Vậy c) đúng với \(n = 1\)
Giải sử c) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} = {2^k} - 1\)
Ta chứng minh c) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k} = {2^{k + 1}} - 1\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k}\\ = {2^k} - 1 + {2^k} = {2.2^k} - 1 = {2^{k + 1}} - 1\end{array}\)
Vậy c) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1.2 = \frac{{1.(1 + 1).(1 + 2)}}{3}\)
Vậy a) đúng với \(n = 1\)
Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}\)
Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)\\ = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3} + (k + 1)(k + 2)\\ = (k + 1)(k + 2)\left[ {\frac{k}{3} + 1} \right]\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\end{array}\)
Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)
Vậy b) đúng với \(n = 1\)
Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)
Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)
Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
c) Ta chứng minh c) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = {2^1} - 1\)
Vậy c) đúng với \(n = 1\)
Giải sử c) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} = {2^k} - 1\)
Ta chứng minh c) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k} = {2^{k + 1}} - 1\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k}\\ = {2^k} - 1 + {2^k} = {2.2^k} - 1 = {2^{k + 1}} - 1\end{array}\)
Vậy c) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).