Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=mx+\dfrac{36}{x+1}$ trên...

Cách 1: Ta có $y=mx+\dfrac{36}{x+1}\Rightarrow {y}'=m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
Ta có: $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=20$ nên $y(3)\ge 20\Leftrightarrow 3m+\dfrac{36}{3+1}\ge 20\Leftrightarrow m\ge \dfrac{11}{3}$
Với $m\ge \dfrac{11}{3}$. Ta có: ${y}'=0\Leftrightarrow m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=\dfrac{36}{m}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1<3 \\
& x=-\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1(l) \\
\end{aligned} \right.$
- TH1: $\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1<0\Leftrightarrow m>36$. Suy ra: $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y(0)=36$ (vô lý)
- TH2: $m\ge \dfrac{11}{3}\wedge \dfrac{6}{\sqrt{m}}-1\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{11}{3}\le m\le 36$
Suy ra: $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( \dfrac{6}{\sqrt{m}}-1 \right)=12\sqrt{m}-m=20\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=100(l) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy m = 4.
Cách 2: Ta có: $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=20$ nên $y(3)\ge 20\Leftrightarrow 3m+\dfrac{36}{3+1}\ge 20\Leftrightarrow m\ge \dfrac{11}{3}$
Với $m\ge \dfrac{11}{3}$. Ta có: $y=mx+\dfrac{36}{x+1}=m\left( x+1 \right)+\dfrac{36}{x+1}-m\ge 2\sqrt{36m}-m,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$
Suy ra: $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=2\sqrt{36m}-m=20$ (nếu có đẳng thức xảy ra $m\left( x+1 \right)=\dfrac{36}{x+1}$ )
$m-12\sqrt{m}+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{m}=2 \\
& \sqrt{m}=10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=100 \\
\end{aligned} \right.$
Ta thử lại xem có đẳng thức xảy ra không.
- Với m = 100. Ta có: $100\left( x+1 \right)=\dfrac{36}{x+1}\Leftrightarrow x+1=\dfrac{6}{10}\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{5}\notin \left[ 0;3 \right]$ (loại)
- Với m = 4. Ta có: $4\left( x+1 \right)=\dfrac{36}{x+1}\Leftrightarrow x+1=3\Leftrightarrow x=2\in \left[ 0;3 \right]$ (thỏa mãn)
Vậy m = 4.