Bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\ge...

${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\ge {{\log }_{0,5}}\left( x-1 \right)+1$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& {{x}^{2}}-x-2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>2$
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\ge {{\log }_{0,5}}\left( x-1 \right)+1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\ge -{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\left( x-1 \right)\ge 1\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\left( x-1 \right)\ge 2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x\ge 0$
$\Leftrightarrow x\in \left[ 1-\sqrt{2};0 \right]\cup \left[ 1+\sqrt{2};+\infty \right)$
So với điều kiện $\Rightarrow x\in \left[ 1+\sqrt{2};+\infty \right)$
Vậy có $2021$ nghiệm nguyên $x$ thỏa yêu cầu bài toán.