Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử phép dời hình f biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó, tức là
Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kì thành M.
Thật vậy giả sử
Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM’, điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện.
Vậy M’ trùng với M và do đó, f là phép đồng nhất.
Giả sử phép dời hình f biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó, tức là
Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kì thành M.
Thật vậy giả sử
Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM’, điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện.
Vậy M’ trùng với M và do đó, f là phép đồng nhất.