Bài 14 trang 7 SBT Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho \(M = f\left( M \right)\) trong các trường hợp sau đây:

Câu a​

\(\eqalign{  & f\left( A \right) = B, f\left(B \right) = C, f\left(C \right) = A  \cr} \)
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\) và \(f\left( B \right) = C, f\left(C \right) = A.\) Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi \(MA = MB = MC.\) Suy ra tập hợp các điểm \(M\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Câu b​

\(\eqalign{  &f\left( A \right) = B, f\left(B \right) = A, f\left(C \right) = D \cr} \)
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\), \(f\left( B \right) = C, f\left(C \right) = D\). Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi \(MA = MB\) và \(MC = MD,\) tức là M đồng thời nằm trên hai mặt phẳng trung trực của AB và CD. Suy ra tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD.

Câu c​

\(\eqalign{  &f\left( A \right) = B, f\left(B \right) = C, f\left(C \right) = D. \cr} \)
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\),\(f\left( C \right) = B, f\left(C \right) = A\). Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi  \(MA = MB = MC=MD\).
Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm của tứ diện ABCD.