Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử phép dời hình f biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó, tức là \(f\left( A \right) = A\),\(f\left( B \right) = B, f\left(C \right) = C, f\left(D \right) = D.\)
Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kì thành M.
Thật vậy giả sử \({M'} = f\left( M \right)\) và M’ khác M.
Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên \(AM = A{M'}\),\(BM = B{M'}\),\(CM = C{M'}, DM = D{M'}\)
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM’, điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện.
Vậy M’ trùng với M và do đó, f là phép đồng nhất.
Giả sử phép dời hình f biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó, tức là \(f\left( A \right) = A\),\(f\left( B \right) = B, f\left(C \right) = C, f\left(D \right) = D.\)
Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kì thành M.
Thật vậy giả sử \({M'} = f\left( M \right)\) và M’ khác M.
Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên \(AM = A{M'}\),\(BM = B{M'}\),\(CM = C{M'}, DM = D{M'}\)
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM’, điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện.
Vậy M’ trùng với M và do đó, f là phép đồng nhất.