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Câu hỏi: Chứng minh \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } = 2\)
Lời giải chi tiết
Đặt \(x = \root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \)
Ta có:
\({x^3} = \left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right)^3\)
\(= 7 + 5\sqrt 2 + 7 - 5\sqrt 2 \) \(+ 3\root 3 \of {{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}} .\root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \) \(+ 3\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } .\root 3 \of {{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}} \)
\(= 14 + 3\sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)\left({7 - 5\sqrt 2 } \right)}}.\)\(.\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)\)
\(= 14 - 3\left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right) \)
\(= 14 - 3x\).
Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0 \left( 1 \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left({x - 2} \right)\left({{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
(vì \({x^2} + 2x + 7 > 0\))
Vậy \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } = 2\)
Cách khác:
$\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\\
\Leftrightarrow 7 + 5\sqrt 2 + 3.\sqrt[3]{{{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}.\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} + 7 - 5\sqrt 2 + 3.\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.\sqrt[3]{{{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}} + 7 - 5\sqrt 2 = 8\\
\Leftrightarrow 14 + 3\sqrt[3]{{\left( { - 1} \right)\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}} + 3\sqrt[3]{{\left( { - 1} \right)\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}} = 8\\
\Leftrightarrow 6 - 3\sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}} - 3\sqrt[3]{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}} = 0\\
\Leftrightarrow 6 - 3\left( {\sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}} + \sqrt[3]{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 6 - 3.2 = 0\left( {dpcm} \right)
\end{array}$
Đặt \(x = \root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \)
Ta có:
\({x^3} = \left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right)^3\)
\(= 7 + 5\sqrt 2 + 7 - 5\sqrt 2 \) \(+ 3\root 3 \of {{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}} .\root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \) \(+ 3\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } .\root 3 \of {{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}} \)
\(= 14 + 3\sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)\left({7 - 5\sqrt 2 } \right)}}.\)\(.\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)\)
\(= 14 - 3\left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right) \)
\(= 14 - 3x\).
Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0 \left( 1 \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left({x - 2} \right)\left({{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
(vì \({x^2} + 2x + 7 > 0\))
Vậy \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } = 2\)
Cách khác:
$\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\\
\Leftrightarrow 7 + 5\sqrt 2 + 3.\sqrt[3]{{{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}.\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} + 7 - 5\sqrt 2 + 3.\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.\sqrt[3]{{{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}} + 7 - 5\sqrt 2 = 8\\
\Leftrightarrow 14 + 3\sqrt[3]{{\left( { - 1} \right)\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}} + 3\sqrt[3]{{\left( { - 1} \right)\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}} = 8\\
\Leftrightarrow 6 - 3\sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}} - 3\sqrt[3]{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}} = 0\\
\Leftrightarrow 6 - 3\left( {\sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}} + \sqrt[3]{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 6 - 3.2 = 0\left( {dpcm} \right)
\end{array}$