Bài 10 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh:

Câu a​

\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(4 \pm 2\sqrt 3  \)
\(= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1 \)
\(= {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}\)
nên
\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)
\(\begin{array}{l}
= \sqrt {{{\left({\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left({\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \\
= \left| {\sqrt 3 + 1} \right| - \left| {\sqrt 3 - 1} \right|\\
= \left({\sqrt 3 + 1} \right) - \left({\sqrt 3 - 1} \right)\\
= 2
\end{array}\)

Câu b​

\(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3\)
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left({A + B} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \)
Ta có \({x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)^3}\)
\(= 9 + \sqrt {80}  + 9 - \sqrt {80}  \) \(+ 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \)\(.\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right) \)
\(= 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} . X = 18 + 3x\).
Do đó: \({x^3} - 3x - 18 = 0 \left( * \right)\)
Mà \({x^3} - 3x - 18\) \(= \left( {x - 3} \right)\left({{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên (*) \(\Leftrightarrow \) x=3
(vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))
Vậy \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3\)