Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng phép co về trục \(Ox\) theo hệ số \(\dfrac{b}{a} < 1\), biến đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} = {a^2}\) thành elip \((E): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và ngược lại, phép co về trục \(Oy\) theo hệ số \(\dfrac{a}{b} > 1\) biến elip \((E): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) thành đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} = {a^2}\).
Lời giải chi tiết
\(M(x; y) \in (C) \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {a^2}\). Ảnh \(M’\) của \(M\) qua phép co về trục \(Ox\) theo hệ số \(\dfrac{b}{a} < 1\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = x\\{y_{M'}} = \dfrac{b}{a}y\end{array} \right. \\ \Rightarrow {a^2} = {x^2} + {y^2}\\ = x_{M'}^2 + \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}y_{M'}^2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x_{M'}^2}}{{{a^2}}} + \dfrac{{y_{M'}^2}}{{{b^2}}} = 1.\)
Vậy ảnh của đường tròn \((C)\) qua phép co về trục \(Ox\) theo hệ số \(\dfrac{b}{a} < 1\) là elip \((E): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Phần ngược lại chứng minh tương tự.
\(M(x; y) \in (C) \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {a^2}\). Ảnh \(M’\) của \(M\) qua phép co về trục \(Ox\) theo hệ số \(\dfrac{b}{a} < 1\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = x\\{y_{M'}} = \dfrac{b}{a}y\end{array} \right. \\ \Rightarrow {a^2} = {x^2} + {y^2}\\ = x_{M'}^2 + \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}y_{M'}^2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x_{M'}^2}}{{{a^2}}} + \dfrac{{y_{M'}^2}}{{{b^2}}} = 1.\)
Vậy ảnh của đường tròn \((C)\) qua phép co về trục \(Ox\) theo hệ số \(\dfrac{b}{a} < 1\) là elip \((E): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Phần ngược lại chứng minh tương tự.