Bài 61 trang 111 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Lập phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết

Câu a​

\(A(0 ; -2)\) là một đỉnh và \(F(1; 0)\) là một tiêu điểm của \((E);\)
Lời giải chi tiết:
Elip \((E)\) có phương trình chính tắc : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1  (a > b > 0)\).
\(A(0 ; -2)\) là một đỉnh \(\Rightarrow   b = 2 ;  F(1; 0)\) là một tiêu điểm \(\Rightarrow   c = 1\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} = 5\).
Vậy phương trình của \((E)\) là : \(\dfrac{{{x^2}}}{5} +  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Câu b​

\(F_1(-7; 0)\) là một tiêu điểm và \((E)\) đi qua \(M(-2; 12);\)
Lời giải chi tiết:
\({F_1}( - 7; 0)\) là một tiêu điểm  \(\Rightarrow \) tiêu điểm thứ hai là: \({F_2}(7; 0)\).
\(m \in (E)   \Rightarrow   2a = M{F_1} + M{F_2}\)
\(= \sqrt {{{( - 7 + 2)}^2} + {{12}^2}}  + \sqrt {{{(7 + 2)}^2} + {{12}^2}}\)
\(  = 28    \Rightarrow   a = 14\).
\(F( - 7; 0)\) là tiêu điểm \(\Rightarrow   c = 7   \Rightarrow   {b^2} = {a^2} - {c^2} = 147\).
Phương trình của \((E)\) là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{196}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{147}} = 1\).

Câu c​

Tiêu cự bằng \(6\), tâm sai bằng \(\dfrac{3}{5}\);
Lời giải chi tiết:
\(2c = 6   \Rightarrow   c = 3 ,\) \(  e =  \dfrac{c}{a} =  \dfrac{3}{5} , \) \(  \Rightarrow   a = 5,  {b^2} = {a^2} - {c^2} = 16\).
Phương trình của \((E)\) là : \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)

Câu d​

Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là \(x =  \pm  4,  y =  \pm 3\).
Lời giải chi tiết:
\(a = 4, b = 3   \Rightarrow \) phương trình của \((E)\) là \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} +  \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Câu e​

\((E)\) đi qua hai điểm \(M(4 ; \sqrt 3) ,  N(2\sqrt 2  ;  - 3)\).
Lời giải chi tiết:
\(M, N  \in (E)   \Rightarrow   \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{16}}{{{a^2}}} +  \dfrac{3}{{{b^2}}} = 1\\ \dfrac{8}{{{a^2}}} +  \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.  \)
\(   \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 20\\{b^2} = 15.\end{array} \right.\)
Phương trình của \((E)\) là : \(\dfrac{{{x^2}}}{{20}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{15}} = 1\).