Bài 65 trang 58 sách giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& y'  = \frac{{\left({4x - 1} \right)\left({x - 1} \right) - \left({2{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left({x - 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^2} - 4x} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr 
& y' = 0  \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0\cr& \Leftrightarrow 2x\left({x - 2} \right) = 0\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty; 0)\) và \((2; + \infty)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; 1)\) và \((1; 2)\)
Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{CĐ}=1\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{CT}=7\)
Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  - \infty ; \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  + \infty \)
Tiệm cận đứng là: \(x=1\)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2{x^2} - x + 1} \over {{x^2} - x}} = 2 \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - 2x) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left({{{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} - 2x} \right) = 1 \cr} \)
Tiệm cận xiên là: \(y=2x+1\)
Bảng biến thiên:

Đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)

Câu b​

Với các giá trị nào của m đường thẳng \(y = m – x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình
\(\eqalign{
& {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} = m - 1\cr& \Rightarrow 2{x^2} - x + 1 = \left({x - 1} \right)\left({m - x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 =  - {x^2} + \left({m + 1} \right)x - m\cr&  \Leftrightarrow 3{x^2} - \left({m + 2} \right)x + m + 1 = 0 \left(1 \right) \cr} \)
Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
f\left(1 \right) \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({m + 2} \right)^2} - 12\left({m + 1} \right) > 0\\
{3.1^2} - \left({m + 2} \right). 1 + m + 1 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 8m - 8 > 0\\
2 \ne 0\left({\text{đúng}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt 6 \text{hoặc} m > 4 + 2\sqrt {6 } \left( 2 \right)\)

Câu c​

Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi \(m\) biến thiên.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm \(A, B\) là các nghiệm của (1)
Hoành độ trung điểm \(M\) của \(AB\) là: \({x_M} = {1 \over 2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = {{m + 2} \over 6}\)
Vì M nằm trên đường thẳng y = m – x nên \({y_M} = m - {x_M} = m - {{m + 2} \over 6} = {{5m - 2} \over 6}\)
Khử \(m\) từ hệ
\(\left\{ \matrix{
{x_M} = {{m + 2} \over 6} \hfill \cr 
{y_M} = {{5m - 2} \over 6} \hfill \cr} \right.\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6{x_M} = m + 2\\
6{y_M} = 5m - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
6{y_M} = 5.\left({6{x_M} - 2} \right) - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
6{y_M} = 30{x_M} - 12
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
{y_M} = 5{x_M} - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(M\) nằm trên đường thẳng \(y = 5x -2\)
Vì \(m\) chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên:
\(m < 4 - 2\sqrt 6  \) \(\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6  \) \( \Leftrightarrow 6{x_M} < 6 - 2\sqrt 6 \) \(\Rightarrow {x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\)
\(m > 4 + 2\sqrt 6  \) \(\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6  \) \( \Leftrightarrow 6{x_M} > 6 + 2\sqrt 6 \) \(\Rightarrow {x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\)
Vậy tập hợp các trung điểm \(M\) của đoạn \(AB\) là phần của đường thẳng \(y = 5x -2\) với \({x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\) hoặc \({x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\)