Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x + 6\); \(g\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 4\) và \(h\left( x \right) = {x^2} + 7x + 8\) tiếp xúc với nhau tại điểm \(A(-1; 2)\) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại \(A\)).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = g\left({ - 1} \right) = h\left({ - 1} \right) = 2\)
Do đó điểm \(A(-1; 2)\) là điểm chung của ba đường cong đã cho. Ngoài ra, ta có:
\(\eqalign{
& f'\left(x \right) = - 2x + 3; g'\left(x \right) = 3{x^2} - 2x;\cr&h'\left(x \right) = 2x + 7 \cr
& f'\left({ - 1} \right)=-2.(-1)+3=5 \cr& g'\left({ - 1} \right) =3.(-1)^2-2.(-1)=5\cr& h'\left({ - 1} \right) = 2.(-1)+7=5 \cr} \)
Do đó ba đường cong cùng đi qua A và có hệ số góc của tiếp tuyến tại A bằng nhau.
Vậy ba đường cong có tiếp tuyến chung điểm \(A\) nên chúng tiếp xúc tại A.
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = g\left({ - 1} \right) = h\left({ - 1} \right) = 2\)
Do đó điểm \(A(-1; 2)\) là điểm chung của ba đường cong đã cho. Ngoài ra, ta có:
\(\eqalign{
& f'\left(x \right) = - 2x + 3; g'\left(x \right) = 3{x^2} - 2x;\cr&h'\left(x \right) = 2x + 7 \cr
& f'\left({ - 1} \right)=-2.(-1)+3=5 \cr& g'\left({ - 1} \right) =3.(-1)^2-2.(-1)=5\cr& h'\left({ - 1} \right) = 2.(-1)+7=5 \cr} \)
Do đó ba đường cong cùng đi qua A và có hệ số góc của tiếp tuyến tại A bằng nhau.
Vậy ba đường cong có tiếp tuyến chung điểm \(A\) nên chúng tiếp xúc tại A.