Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x\) và \(g\left( x \right) = {{3x} \over {x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.
Phương pháp giải
Hai đường cong f(x) và g(x) tiếp xúc nhau nếu hệ sau có nghiệm:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left(x \right) = g\left(x \right)\\
f'\left(x \right) = g'\left(x \right)
\end{array} \right.\)
Nghiệm của hệ trên chính là hoành độ tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left(x \right) = g\left(x \right)\\
f'\left(x \right) = g'\left(x \right)
\end{array} \right.\)
\(\eqalign{
\Leftrightarrow & \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} \hfill \cr
{\left({{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x} \right)'} = {\left({{{3x} \over {x + 2}}} \right)'} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} (1) \hfill \cr
x + {3 \over 2} = {6 \over {{{\left({x + 2} \right)}^2}}} (2) \hfill \cr} \right. \cr } \)
\(\begin{array}{l}
\left(1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} = \frac{{3x}}{{x + 2}}\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} - \frac{{3x}}{{x + 2}} = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left({{x^2} + 3x} \right)\left({x + 2} \right) - 6x}}{{2\left({x + 2} \right)}} = 0\\
\Rightarrow \left({{x^2} + 3x} \right)\left({x + 2} \right) - 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 2{x^2} + 6x - 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 5{x^2} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left({x + 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 0\\
x + 5 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 5
\end{array} \right.\left({TM} \right)
\end{array}\)
Thay x=0 và x=-5 vào (2) ta được:
+) \(x=0\) thì \(VT=0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}}=VP\) nên x=0 thỏa mãn (2)
Do đó x=0 là nghiệm của hệ.
+) \(x =-5\) thì \(VT = - 5 + \frac{3}{2} = - \frac{7}{2} \ne \frac{6}{{{{\left( { - 5 + 2} \right)}^2}}} = VP\) nên x=-5 không thỏa mãn (2)
Vậy hệ có \(1\) nghiệm duy nhất \(x = 0\) suy ra y=0.
Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ \(O\); \(y'\left( 0 \right) = {3 \over 2}\).
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = {3 \over 2}x.\)
Cách khác:
Các em có thể giải trực tiếp hệ trên mà không cần thay như sau:
Hai đường cong f(x) và g(x) tiếp xúc nhau nếu hệ sau có nghiệm:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left(x \right) = g\left(x \right)\\
f'\left(x \right) = g'\left(x \right)
\end{array} \right.\)
Nghiệm của hệ trên chính là hoành độ tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left(x \right) = g\left(x \right)\\
f'\left(x \right) = g'\left(x \right)
\end{array} \right.\)
\(\eqalign{
\Leftrightarrow & \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} \hfill \cr
{\left({{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x} \right)'} = {\left({{{3x} \over {x + 2}}} \right)'} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} (1) \hfill \cr
x + {3 \over 2} = {6 \over {{{\left({x + 2} \right)}^2}}} (2) \hfill \cr} \right. \cr } \)
\(\begin{array}{l}
\left(1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} = \frac{{3x}}{{x + 2}}\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} - \frac{{3x}}{{x + 2}} = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left({{x^2} + 3x} \right)\left({x + 2} \right) - 6x}}{{2\left({x + 2} \right)}} = 0\\
\Rightarrow \left({{x^2} + 3x} \right)\left({x + 2} \right) - 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 2{x^2} + 6x - 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 5{x^2} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left({x + 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 0\\
x + 5 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 5
\end{array} \right.\left({TM} \right)
\end{array}\)
Thay x=0 và x=-5 vào (2) ta được:
+) \(x=0\) thì \(VT=0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}}=VP\) nên x=0 thỏa mãn (2)
Do đó x=0 là nghiệm của hệ.
+) \(x =-5\) thì \(VT = - 5 + \frac{3}{2} = - \frac{7}{2} \ne \frac{6}{{{{\left( { - 5 + 2} \right)}^2}}} = VP\) nên x=-5 không thỏa mãn (2)
Vậy hệ có \(1\) nghiệm duy nhất \(x = 0\) suy ra y=0.
Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ \(O\); \(y'\left( 0 \right) = {3 \over 2}\).
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = {3 \over 2}x.\)
Cách khác:
Các em có thể giải trực tiếp hệ trên mà không cần thay như sau: