Bài 4 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt \(b\) chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:

Câu a​

Phương trình có nghiệm
Phương pháp giải:
Phương trình bậc hai có nghiệm \(\left( {\Delta  \ge 0} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu là \(Ω = \left\{{1,2,3,4,5,6}\right\}\), \(n(Ω)=6\)
Ta có bảng:
Phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(∆ = b^2 - 8 ≥ 0\) (*).
Vì vậy nếu \(A\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm"
thì \(A =\left\{{3,4,5,6}\right\}, n(A) = 4\) và \(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).
Cách khác:
Phương trình (1) có nghiệm
⇔ Δ ≥ 0 ⇔ b ≥ 2√2
⇒ b ∈ {3; 4; 5; 6}.
⇒ A = {3,4,5,6}
⇒ n(A) = 4
\(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).

Câu b​

Phương trình vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Phương trình bậc hai vô nghiệm \(\left( {\Delta  < 0} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Biến cố \(B\): "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) vô nghiệm"
Dễ thấy A và B là các biến cố đối
Theo qui tắc cộng xác suất ta có \(P(B) = 1 - P(A)\) = \(\frac{1}{3}\).
Cách khác:
(1) vô nghiệm
⇔ Δ < 0 ⇔ b ≤ 2√2
⇒ b ∈ {1; 2}
⇒ B = {1,2}
⇒ n(B) = 2
\(P(B)\) \(=\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)

Câu c​

Phương trình có nghiệm nguyên.
Phương pháp giải:
Điều kiện cần để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là \(\Delta \) là số chính phương.
Lời giải chi tiết:
\(C\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm nguyên"
Phương trình (1) có nghiệm
⇔ b ∈ {3; 4; 5; 6}.
Thử các giá trị của b ta thấy:
Khi \(b=3\) thì phương trình trở thành \({x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right. \left( {tm} \right)\)
Do đó \(C = \left\{{3}\right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 1\).
Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{n\left(C \right)}}{{n\left(\Omega  \right)}} = \frac{1}{6}.\)