Câu hỏi: Chứng minh phương trình
luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.
Phương pháp giải
Hàm số xác định và liên tục trên . Nếu thì tồn tại ít nhất một số sao cho .
Lời giải chi tiết
Hàm số xác định trên R
- Ta có
Vì nên với dãy số bất kì mà ta luôn có
Do đó, có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho (1)
(do n lẻ).
Vì nên với dãy số bất kì mà ta luôn có hay
Do đó, có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho hay (2)
- Từ (1) và (2) suy ra
Mặt khác, hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]
Do đó, phương trình luôn có nghiệm.
Hàm số
Lời giải chi tiết
Hàm số
- Ta có
Vì
Do đó,
Nếu số dương này là 1 thì
Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho
Vì
Do đó,
Nếu số dương này là 1 thì
- Từ (1) và (2) suy ra
Mặt khác,
Do đó, phương trình