Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành \(ABCD\) có diện tích \(S.\) Trên cạnh \(BC\) lấy hai điểm \(M, N\) sao cho \(BM = MN = NC =\) \(\dfrac{1}{3}BC\)
a) Tính diện tích của tứ giác \(ABMD\) theo \(S\)
b) Từ điểm \(N\) kẻ \(NT\) song song với \(AB\) (\(T\) thuộc \(AC\)). Tính diện tích của tứ giác \(ABNT\) theo \(S\)
a) Tính diện tích của tứ giác \(ABMD\) theo \(S\)
b) Từ điểm \(N\) kẻ \(NT\) song song với \(AB\) (\(T\) thuộc \(AC\)). Tính diện tích của tứ giác \(ABNT\) theo \(S\)
Phương pháp giải
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành bằng tích cạnh đáy và chiều cao tương ứng: \(S=ah\)
Công thức tính diện tích hình tam giác bằng nửa tích cạnh đáy và chiều cao tương ứng: \(S=\dfrac{1}{2}ah\)
Lời giải chi tiết
a) \(∆ DMC\) có \(CM = \dfrac{2}{3}BC\)
Hình bình hành \(ABCD\) và \(∆ DMC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(D\) đến \(BC.\)
Gọi độ dài đường cao là \(h, BC = a\)
Ta có diện tích hình bình hành \(ABCD\) là \(S = a. h\)
\(\begin{array}{l}{S_{DMC}} = \dfrac{1}{2}h.\dfrac{2}{3}a = \dfrac{1}{3}ah = \dfrac{1}{3}S\\{S_{ABMD}} = {S_{ABCD}} - {S_{DMC}}\\ = S - \dfrac{1}{3}S = \dfrac{2}{3}S\end{array}\)
b) \({S_{ABC}} =\eqalign {1 \over 2}{S_{ABCD}} = \eqalign{S \over 2}\) (do ABCD là hình bình hành nên đường chéo AC chia ABCD thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau)
\(CN = \eqalign{1 \over 3}BC,\) \(NT // AB.\)
Theo tính chất đường thẳng song song cách đều \( \Rightarrow CT = \eqalign{1 \over 3}AC\)
\(∆ ABC\) và \(∆ BTC\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(B,\) đáy \(CT = \eqalign{1 \over 3}AC\)
\( \Rightarrow {S_{BTC}} = \eqalign{1 \over 3}{S_{ABC}} = \eqalign{1 \over 3}.\eqalign{S \over 2} = \eqalign{S \over 6}\)
\(∆ BTC\) và \(∆ TNC\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(T,\) cạnh đáy \(CN = \eqalign{1 \over 3}CB\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{TNC}} = \dfrac{1}{3}{S_{BTC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{S}{6} = \dfrac{S}{{18}}\\ \Rightarrow {S_{ABNT}} = {S_{ABC}} - {S_{TNC}}\\ = \dfrac{S}{2} - \dfrac{S}{{18}} = \dfrac{{4S}}{9}\end{array}\)
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành bằng tích cạnh đáy và chiều cao tương ứng: \(S=ah\)
Công thức tính diện tích hình tam giác bằng nửa tích cạnh đáy và chiều cao tương ứng: \(S=\dfrac{1}{2}ah\)
Lời giải chi tiết
a) \(∆ DMC\) có \(CM = \dfrac{2}{3}BC\)
Hình bình hành \(ABCD\) và \(∆ DMC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(D\) đến \(BC.\)
Gọi độ dài đường cao là \(h, BC = a\)
Ta có diện tích hình bình hành \(ABCD\) là \(S = a. h\)
\(\begin{array}{l}{S_{DMC}} = \dfrac{1}{2}h.\dfrac{2}{3}a = \dfrac{1}{3}ah = \dfrac{1}{3}S\\{S_{ABMD}} = {S_{ABCD}} - {S_{DMC}}\\ = S - \dfrac{1}{3}S = \dfrac{2}{3}S\end{array}\)
b) \({S_{ABC}} =\eqalign {1 \over 2}{S_{ABCD}} = \eqalign{S \over 2}\) (do ABCD là hình bình hành nên đường chéo AC chia ABCD thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau)
\(CN = \eqalign{1 \over 3}BC,\) \(NT // AB.\)
Theo tính chất đường thẳng song song cách đều \( \Rightarrow CT = \eqalign{1 \over 3}AC\)
\(∆ ABC\) và \(∆ BTC\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(B,\) đáy \(CT = \eqalign{1 \over 3}AC\)
\( \Rightarrow {S_{BTC}} = \eqalign{1 \over 3}{S_{ABC}} = \eqalign{1 \over 3}.\eqalign{S \over 2} = \eqalign{S \over 6}\)
\(∆ BTC\) và \(∆ TNC\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(T,\) cạnh đáy \(CN = \eqalign{1 \over 3}CB\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{TNC}} = \dfrac{1}{3}{S_{BTC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{S}{6} = \dfrac{S}{{18}}\\ \Rightarrow {S_{ABNT}} = {S_{ABC}} - {S_{TNC}}\\ = \dfrac{S}{2} - \dfrac{S}{{18}} = \dfrac{{4S}}{9}\end{array}\)