Bài 36 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm \(A( - 4; 1) , B(2; 4) , C(2 ; - 2).\)

Câu a​

Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác \(ABC\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_G} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 \over 3}(- 4 + 2 + 2) = 0 \hfill \cr 
{y_G} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 \over 3}(1 + 4 - 2) = 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow G (0; 1). \cr} \)

Câu b​

Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(D ({x_{D }} ; {y_D})\)  sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Ta có
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_C} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_D}) \hfill \cr 
{y_C} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_D}) \hfill \cr} \right.\cr& \Rightarrow \left\{ \matrix{
2 = {1 \over 3}(- 4 + 2 + {x_D}) \hfill \cr 
- 2 = {1 \over 3}(1 + 4 + {y_D}) \hfill \cr} \right. \cr 
&  \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} = 8 \hfill \cr 
{y_D} = - 11 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow D (8 ; - 11) \cr} \)

Câu c​

Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành.
Phương pháp giải:
ABCE là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(E({x_E} ; {y_E})\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành. Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left({2 + 4; 4 - 1} \right) = \left({6; 3} \right)\\
\overrightarrow {EC} = \left({2 - {x_E}; - 2 - {y_E}} \right)
\end{array}\)
ABCE là hình bình hành khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC}\cr&\Leftrightarrow (6; 3) = (2 - {x_E} ; - 2 - {y_E}) \cr 
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 2 - {x_E}\\3 = - 2 - {y_E}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_E} = - 4 \hfill \cr {y_E} = - 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow E (- 4 ; - 5). \cr} \)