Bài 32 trang 10 SBT Hình Học 11 nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng:

Câu a​

Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là một phép quay.
Lời giải chi tiết:
Giả sử cho hai phép đối xứng trục và có trục a và b cắt nhau tại O, còn F là hợp thành của và .
Lấy hai điểm A, B khác O lần lượt nằm trên a, b sao cho góc AOB không bù và đặt
(Chú ý rằng khi đó là góc hợp bởi hai đường thẳng a và b).
Với mọi điểm M khác O, giả sử biến M thành và biến thành . Khi đó, nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của và thì có:

Và

Vậy phép hợp thành F là phép quay tâm O góc quay

Câu b​

Mỗi phép quay đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau, bằng nhiều cách.
Lời giải chi tiết:
Giả sử Q là phép quay tâm O góc quay
Ta lấy đường thẳng a nào đó đi qua O và b là ảnh của a qua phép quay tâm O góc quay thì hợp thành của hai phép đối xứng trục và chính là phép quay Q (theo câu a).
Hiển nhiên có thể chọn a bằng nhiều cách khác nhau.

Câu c​

Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép quay.
Lời giải chi tiết:
Nếu F là hợp thành của 2n phép đối xứng có trục đối xứng đồng quy tại O thì F là hợp thành của n phép quay có tâm O và do đó F là một phép quay.

Câu d​

Hợp thành của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết:
Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục có các trục đều đi qua O.
Gọi là phép đối xứng đầu tiên, thì 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép quay Q tâm O.
Ta xem Q là hợp thành của hai phép đối xứng trục, trong đó phép thứ nhất là và phép thứ hai là .
Như vậy, F là hợp thành của ba phép đối xứng trục: , và .
Vậy F chính là phép đối xứng trục .