Bài 32 trang 10 SBT Hình Học 11 nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng:

Câu a​

Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là một phép quay.
Lời giải chi tiết:
Giả sử cho hai phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) có trục a và b cắt nhau tại O, còn F là hợp thành của \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\).
Lấy hai điểm A, B khác O lần lượt nằm trên a, b sao cho góc AOB không bù và đặt \(\varphi = \left( {OA, OB} \right).\)
(Chú ý rằng khi đó \(\left| \varphi \right| = \widehat {AOB}\) là góc hợp bởi hai đường thẳng a và b).
Với mọi điểm M khác O, giả sử \({Đ_a}\) biến M thành \({M_1}\) và \({Đ_b}\) biến \({M_1}\) thành \({M_2}\). Khi đó, nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của \(M{M_1}\) và \({M_1}{M_2}\) thì có:
\(OM = O{M_1} = O{M_2}\)
Và \(\left( {OM, O{M_2}} \right) = \left({OM, O{M_1}} \right) + \left({O{M_1}, O{M_2}} \right)\)
\(\eqalign{
& = 2\left({OH, O{M_1}} \right) + 2\left({O{M_1}, OK} \right) \cr
& = 2\left({OH, OK} \right) = 2\varphi \cr} \)
Vậy phép hợp thành F là phép quay tâm O góc quay \(2\varphi \)

Câu b​

Mỗi phép quay đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau, bằng nhiều cách.
Lời giải chi tiết:
Giả sử Q là phép quay tâm O góc quay \(\varphi .\)
Ta lấy đường thẳng a nào đó đi qua O và b là ảnh của a qua phép quay tâm O góc quay \({\varphi \over 2}\) thì hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) chính là phép quay Q (theo câu a).
Hiển nhiên có thể chọn a bằng nhiều cách khác nhau.

Câu c​

Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép quay.
Lời giải chi tiết:
Nếu F là hợp thành của 2n phép đối xứng có trục đối xứng đồng quy tại O thì F là hợp thành của n phép quay có tâm O và do đó F là một phép quay.

Câu d​

Hợp thành của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết:
Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục có các trục đều đi qua O.
Gọi \({Đ_a}\) là phép đối xứng đầu tiên, thì 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép quay Q tâm O.
Ta xem Q là hợp thành của hai phép đối xứng trục, trong đó phép thứ nhất là \({Đ_a}\) và phép thứ hai là \({Đ_b}\).
Như vậy, F là hợp thành của ba phép đối xứng trục: \({Đ_a}\), \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\).
Vậy F chính là phép đối xứng trục \({Đ_b}\).