Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \((O),\) các bán kính \(OA\) và \(OB.\) Trên cung nhỏ \(AB\) lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM = BN.\) Gọi \(C\) là giao điểm của các đường thẳng \(AM\) và \(BN.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) \(OC\) là tia phân giác của góc \(AOB.\)
\(b)\) \(OC\) vuông góc với \(AB.\)
\(a)\) \(OC\) là tia phân giác của góc \(AOB.\)
\(b)\) \(OC\) vuông góc với \(AB.\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy vừa là đường cao, đường phân giác.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Kẻ \(OH ⊥ AM, OK ⊥ BN\)
Ta có: \(AM = BN (gt)\)
Suy ra: \( OH = OK\) (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Xét hai tam giác \(OCH\) và \(OCK,\) ta có:
\(\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \)
\(OC\) chung
\(OH = OK\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(∆OCH = ∆OCK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (1)
Xét hai tam giác \(OAH\) và \(OBK,\) ta có:
\(\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ \)
\( OA = OB\) (cùng bằng bán kính)
\(OH = OK\) ( chứng minh trên)
Suy ra: \(∆OAH = ∆OBK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\) hay \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\)
Vậy \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\)
\(b)\) Tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) (do \(OA=OB)\) có \(OC\) là tia phân giác nên \(OC\) đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).
Suy ra: \(OC ⊥ AB.\)
Chú ý: TH hình vẽ dưới đây các em vẫn làm như trên:
Sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy vừa là đường cao, đường phân giác.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Kẻ \(OH ⊥ AM, OK ⊥ BN\)
Ta có: \(AM = BN (gt)\)
Suy ra: \( OH = OK\) (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Xét hai tam giác \(OCH\) và \(OCK,\) ta có:
\(\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \)
\(OC\) chung
\(OH = OK\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(∆OCH = ∆OCK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (1)
Xét hai tam giác \(OAH\) và \(OBK,\) ta có:
\(\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ \)
\( OA = OB\) (cùng bằng bán kính)
\(OH = OK\) ( chứng minh trên)
Suy ra: \(∆OAH = ∆OBK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\) hay \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\)
Vậy \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\)
\(b)\) Tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) (do \(OA=OB)\) có \(OC\) là tia phân giác nên \(OC\) đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).
Suy ra: \(OC ⊥ AB.\)
Chú ý: TH hình vẽ dưới đây các em vẫn làm như trên: