Google
Câu hỏi: Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left({4n + 1} \right)}}.\)
Phương pháp giải:
- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\)
\({S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\)
\({S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\)
\({S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\)
Vậy \({S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}.\)
Phương pháp giải:
- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.
Lời giải chi tiết:
Viết lại \(S = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}},\) \({S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}},\) \({S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}.\)
Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}.\)
Chứng minh :
Với \(n = 1\) thì \({S_1} = \dfrac{1}{5}\) đúng.
Giả sử \({S_n}\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\).
Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)
Thật vậy, \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left({4k + 1} \right)}}\) \(+ \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left({k + 1} \right) + 1} \right]}}\)
\(= \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left({4k + 5} \right)}}\) \(= \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left({4k + 1} \right)\left({4k + 5} \right)}}\) \(= \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left({4k + 5} \right)}}\)
\(= \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left({k + 1} \right)}}{{\left({4k + 1} \right)\left({4k + 5} \right)}}\) \(= \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu a
Tính \({S_1}, S{_2},{S_3},{S_4}\)Phương pháp giải:
- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\)
\({S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\)
\({S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\)
\({S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\)
Vậy \({S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}.\)
Câu b
Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.Phương pháp giải:
- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.
Lời giải chi tiết:
Viết lại \(S = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}},\) \({S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}},\) \({S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}.\)
Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}.\)
Chứng minh :
Với \(n = 1\) thì \({S_1} = \dfrac{1}{5}\) đúng.
Giả sử \({S_n}\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\).
Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)
Thật vậy, \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left({4k + 1} \right)}}\) \(+ \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left({k + 1} \right) + 1} \right]}}\)
\(= \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left({4k + 5} \right)}}\) \(= \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left({4k + 1} \right)\left({4k + 5} \right)}}\) \(= \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left({4k + 5} \right)}}\)
\(= \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left({k + 1} \right)}}{{\left({4k + 1} \right)\left({4k + 5} \right)}}\) \(= \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!