Bài 3.5 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

Câu a​

;
Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh
Lời giải chi tiết:
Dùng phép thử với ta dự đoán: Với thì bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.
+) Với hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì
+) Giả sử bất đẳng thức đúng với tức là
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với tức là

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

Câu b​

Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Dùng phép thử.
+) Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.
+) Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi
Ta chứng minh: Với thì  bằng quy nạp.
+) Với thì

VT > VP nên bđt đúng.
+) Giả sử bđt đúng với , nghĩa là
(1)
Ta chứng minh bđt đúng với nghĩa là hay
Thật vậy,
Nhân cả hai vế của (1) với 2 ta được:


Vậy ta có đpcm.

Câu c​

Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Với thì bất đẳng thức không đúng.
Với thì ta thấy bất đẳng thức đúng.
Dự đoán .
Thật vậy, với thì .
Giả sử bđt đúng với , nghĩa là .
Ta cần chứng minh .
Nhân của hai vế của với ta được
Vậy