Google
Câu hỏi: Tìm cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất \({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k}\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27{\rm{ }}\left( 1 \right)\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275{\rm{ }}\left(2 \right)\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\
\Leftrightarrow \left({{u_1} + {u_3}} \right) + {u_2} = 27\\
\Leftrightarrow 2{u_2} + {u_2} = 27\\
\Leftrightarrow 3{u_2} = 27\\
\Leftrightarrow {u_2} = 9
\end{array}\)
Thay \({u_2} = 9\) vào (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 18 (3)\\u_1^2 + u_3^2 = 194 (4)\end{array} \right.\)
\(\left( 3 \right) \Rightarrow {u_3} = 18 - {u_1}\) thay vào (4) ta được:
\(\begin{array}{l}u_1^2 + {\left( {18 - {u_1}} \right)^2} = 194\\ \Leftrightarrow u_1^2 + 324 - 36{u_1} + u_1^2 = 194\\ \Leftrightarrow 2u_1^2 - 36{u_2} + 130 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_1} = 13\end{array} \right.\end{array}\)
Với \({u_1} = 5 \Rightarrow {u_3} = 13\) ta có CSC \(5; 9; 13\)
Với \({u_1} = 13 \Rightarrow {u_3} = 5\) ta có CSC \(13; 9; 5\).
Vậy ta có hai cấp số cộng \(5,9,13\) và \(13,9,5.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$b^{2}=u_{1}^{2}+\left(u_{1}+d\right)^{2}+\ldots+\left[u_{1}+(n-1) d\right]^{2}$
$=m u_{1}^{2}+2 u_{1} d[1+2+\ldots+(n-1)]+d^{2}\left[1^{2}+2^{2}+\ldots+(n-1)^{2}\right]$
$=n u_{1}^{2}+n(n-1) u_{1} d+\frac{n(n-1)(2 n-1) d^{2}}{6}$
Mặt khác, \(a = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\) \(\Rightarrow 2a = 2n{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) \(\Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{{2a - \left( {n - 1} \right)d}}{{2n}}\left( 1 \right)\).
Thay \({u_1}\) vào (1) ta được:
$b^{2}=n \cdot\left[\frac{2 a-(n-1) d}{2 n}\right]^{2}+n(n-1) \cdot \frac{2 a-(n-1) d}{2 n} d+\frac{n(n-1)(2 n-1) d^{2}}{6}$
$\Leftrightarrow b^{2}=\frac{[2 a-(n-1) d]^{2}}{4 n}+\frac{(n-1)[2 a-(n-1) d] d}{2}+\frac{n(n-1)(2 n-1) d^{2}}{6}$
Kết quả \(d = \pm \sqrt {\dfrac{{12\left( {n{b^2} - {a^2}} \right)}}{{{n^2}\left({{n^2} - 1} \right)}}} \);\({u_1} = \dfrac{1}{n}\left[ {a - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d} \right]\)
Câu a
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\end{array} \right.\)Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất \({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k}\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27{\rm{ }}\left( 1 \right)\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275{\rm{ }}\left(2 \right)\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\
\Leftrightarrow \left({{u_1} + {u_3}} \right) + {u_2} = 27\\
\Leftrightarrow 2{u_2} + {u_2} = 27\\
\Leftrightarrow 3{u_2} = 27\\
\Leftrightarrow {u_2} = 9
\end{array}\)
Thay \({u_2} = 9\) vào (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 18 (3)\\u_1^2 + u_3^2 = 194 (4)\end{array} \right.\)
\(\left( 3 \right) \Rightarrow {u_3} = 18 - {u_1}\) thay vào (4) ta được:
\(\begin{array}{l}u_1^2 + {\left( {18 - {u_1}} \right)^2} = 194\\ \Leftrightarrow u_1^2 + 324 - 36{u_1} + u_1^2 = 194\\ \Leftrightarrow 2u_1^2 - 36{u_2} + 130 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_1} = 13\end{array} \right.\end{array}\)
Với \({u_1} = 5 \Rightarrow {u_3} = 13\) ta có CSC \(5; 9; 13\)
Với \({u_1} = 13 \Rightarrow {u_3} = 5\) ta có CSC \(13; 9; 5\).
Vậy ta có hai cấp số cộng \(5,9,13\) và \(13,9,5.\)
Câu b
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}\end{array} \right.\).Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$b^{2}=u_{1}^{2}+\left(u_{1}+d\right)^{2}+\ldots+\left[u_{1}+(n-1) d\right]^{2}$
$=m u_{1}^{2}+2 u_{1} d[1+2+\ldots+(n-1)]+d^{2}\left[1^{2}+2^{2}+\ldots+(n-1)^{2}\right]$
$=n u_{1}^{2}+n(n-1) u_{1} d+\frac{n(n-1)(2 n-1) d^{2}}{6}$
Mặt khác, \(a = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\) \(\Rightarrow 2a = 2n{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) \(\Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{{2a - \left( {n - 1} \right)d}}{{2n}}\left( 1 \right)\).
Thay \({u_1}\) vào (1) ta được:
$b^{2}=n \cdot\left[\frac{2 a-(n-1) d}{2 n}\right]^{2}+n(n-1) \cdot \frac{2 a-(n-1) d}{2 n} d+\frac{n(n-1)(2 n-1) d^{2}}{6}$
$\Leftrightarrow b^{2}=\frac{[2 a-(n-1) d]^{2}}{4 n}+\frac{(n-1)[2 a-(n-1) d] d}{2}+\frac{n(n-1)(2 n-1) d^{2}}{6}$
Kết quả \(d = \pm \sqrt {\dfrac{{12\left( {n{b^2} - {a^2}} \right)}}{{{n^2}\left({{n^2} - 1} \right)}}} \);\({u_1} = \dfrac{1}{n}\left[ {a - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d} \right]\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!