Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều \(ABC\) và điểm \(M\) bất kì nằm trong tam giác đó. Đường thẳng đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \(BC\) tại điểm \(H.\) Đường thẳng đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \(CA\) tại điểm \(K.\) Đường thẳng đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \(AB\) tại điểm \(T.\)
Chứng minh rằng \(MH+MK+MT\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M.\)
Chứng minh rằng \(MH+MK+MT\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M.\)
Phương pháp giải
Gợi ý: Tổng diện tích của tam giác \(MBC, MCA, MAB\) bằng diện tích của tam giác \(ABC\)
Lời giải chi tiết
Giả sử \(∆ ABC\) đều có cạnh bằng \(a,\) kẻ đường cao \(AD,\) đặt \(AD = h\) không đổi.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}ah\\{S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}MT.a\\{S_{MAC}} = \dfrac{1}{2}MK.a\\{S_{MBC}} = \dfrac{1}{2}MH.a\\{S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MAC}} + {S_{MBC}}\\\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}MT.a + \dfrac{1}{2}MK.a \\+ \dfrac{1}{2}MH.a\\\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}a(MT + MK + MH)\\ \Rightarrow MT + MK + MH = h\end{array}\)
\( \Rightarrow MT + MK + MH = h\) không đổi
Vậy tổng \(MT + MK + MH\) không phụ thuộc vào điểm \(M.\)
Gợi ý: Tổng diện tích của tam giác \(MBC, MCA, MAB\) bằng diện tích của tam giác \(ABC\)
Lời giải chi tiết
Giả sử \(∆ ABC\) đều có cạnh bằng \(a,\) kẻ đường cao \(AD,\) đặt \(AD = h\) không đổi.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}ah\\{S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}MT.a\\{S_{MAC}} = \dfrac{1}{2}MK.a\\{S_{MBC}} = \dfrac{1}{2}MH.a\\{S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MAC}} + {S_{MBC}}\\\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}MT.a + \dfrac{1}{2}MK.a \\+ \dfrac{1}{2}MH.a\\\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}a(MT + MK + MH)\\ \Rightarrow MT + MK + MH = h\end{array}\)
\( \Rightarrow MT + MK + MH = h\) không đổi
Vậy tổng \(MT + MK + MH\) không phụ thuộc vào điểm \(M.\)