Bài 3.13 trang 118 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với  \(\left( {{u_n}} \right) = 1 + \left({n - 1} \right){. 2^n}.\)

Câu a​

Viết năm số hạng đầu của dãy số
Phương pháp giải:
Cho \(n\) nhận lần lượt các giá trị \(1,2,3,4,5\) suy ra \(5\) số hạng đầu
Lời giải chi tiết:
Ta có \(5\) số hạng đầu của dãy là \(1; 5; 17; 49; 129\)

Câu b​

Tìm công thức truy hồi
Phương pháp giải:
Tìm hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}.\)
Lời giải chi tiết:
\({u_{n + 1}} - {u_n}\)  \(= 1 + n{. 2^{n + 1}} - 1 - \left( {n - 1} \right){2^n}\) \(= 2n{. 2^n} - \left( {n - 1} \right){2^n}\) \(= {2^n}\left( {n + 1} \right)\)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + {2^n}\left( {n + 1} \right)\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){2^n}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

Câu c​

Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
Phương pháp giải:
Xét dấu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){. 2^n} > 0\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Do đó \({u_n} \ge {u_1} = 1,\forall n\) nên dãy đã cho bị chặn dưới.