Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng
\(y = ax + b\) (d)
\(y = a’x + b’\) (d’)
Chứng minh rằng :
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ , hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a’ = 1.
\(y = ax + b\) (d)
\(y = a’x + b’\) (d’)
Chứng minh rằng :
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ , hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a’ = 1.
Phương pháp giải
+ Đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc là \(a.\)
Lời giải chi tiết
Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng \(y = ax\) // (d) và \(y = ax\) // (d’).
*Chứng minh (d) vuông góc với (d’) thì \(a. a’ = -1\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a > 0\)
Khi đó góc tạo bởi tia \(Ox\) và đường thẳng \(y = ax\) là góc nhọn.
Suy ra góc tạo bởi tia \(Ox\) và đường thẳng \(y = a’x\) là góc tù ( vì các góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax\) và đường thẳng \(y = a’x\) với tia \(Ox\) hơn kém nhau \(90^0).\)
Suy ra: \(a’ < 0\)
Mà đường thẳng \(y = ax\) đi qua \(A(1;a)\), đường thẳng \(y = a’x\) đi qua \(B(1;a’)\)
nên đoạn \(AB\) vuông góc với \(Ox\) tại điểm H có hoành độ bằng \(1.\)
Vì \(\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)\) nên hai đường thẳng \(y = ax\) và \(y = a’x\) vuông góc với nhau
Suy ra: \(\widehat {AOB} = {90^0}\)
Tam giác vuông AOB có \(OH \bot AB\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : \(O{H^2} = HA.HB\)
Hay: \(a.\left| {a'} \right| = 1 \Leftrightarrow a.\left( { - a'} \right) = 1 \Leftrightarrow a.a' = - 1\)
Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì \( a.a’ = -1\)
*Chứng minh \(a.a' = - 1\) thì (d) vuông góc với (d’)
Ta có : \(a.a' = - 1\)\( \Leftrightarrow a.\left| {a'} \right| = 1\) hay \(HA.HB = O{H^2}\)
Suy ra: \(\dfrac{{HA}}{{OH}} = \dfrac{{OH}}{{HB}}\) mà \( \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^0}\)
Suy ra: \(\Delta OHA\) đồng dạng \(\Delta BHO \)\(\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {OBH}\)
Mà \(\widehat {OBH} + \widehat {BOH} = {90^0} \)\(\Rightarrow \widehat {AOH} + \widehat {BOH} = {90^0}\)\(\Rightarrow \widehat {AOH}=90^0\)
Suy ra \(OA \bot OB\) hay hai đường thẳng \(y = ax\) và \(y = a’x\) vuông góc với nhau.
Vậy \(\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)\).
+ Đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc là \(a.\)
Lời giải chi tiết
Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng \(y = ax\) // (d) và \(y = ax\) // (d’).
*Chứng minh (d) vuông góc với (d’) thì \(a. a’ = -1\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a > 0\)
Khi đó góc tạo bởi tia \(Ox\) và đường thẳng \(y = ax\) là góc nhọn.
Suy ra góc tạo bởi tia \(Ox\) và đường thẳng \(y = a’x\) là góc tù ( vì các góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax\) và đường thẳng \(y = a’x\) với tia \(Ox\) hơn kém nhau \(90^0).\)
Suy ra: \(a’ < 0\)
Mà đường thẳng \(y = ax\) đi qua \(A(1;a)\), đường thẳng \(y = a’x\) đi qua \(B(1;a’)\)
nên đoạn \(AB\) vuông góc với \(Ox\) tại điểm H có hoành độ bằng \(1.\)
Vì \(\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)\) nên hai đường thẳng \(y = ax\) và \(y = a’x\) vuông góc với nhau
Suy ra: \(\widehat {AOB} = {90^0}\)
Tam giác vuông AOB có \(OH \bot AB\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : \(O{H^2} = HA.HB\)
Hay: \(a.\left| {a'} \right| = 1 \Leftrightarrow a.\left( { - a'} \right) = 1 \Leftrightarrow a.a' = - 1\)
Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì \( a.a’ = -1\)
*Chứng minh \(a.a' = - 1\) thì (d) vuông góc với (d’)
Ta có : \(a.a' = - 1\)\( \Leftrightarrow a.\left| {a'} \right| = 1\) hay \(HA.HB = O{H^2}\)
Suy ra: \(\dfrac{{HA}}{{OH}} = \dfrac{{OH}}{{HB}}\) mà \( \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^0}\)
Suy ra: \(\Delta OHA\) đồng dạng \(\Delta BHO \)\(\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {OBH}\)
Mà \(\widehat {OBH} + \widehat {BOH} = {90^0} \)\(\Rightarrow \widehat {AOH} + \widehat {BOH} = {90^0}\)\(\Rightarrow \widehat {AOH}=90^0\)
Suy ra \(OA \bot OB\) hay hai đường thẳng \(y = ax\) và \(y = a’x\) vuông góc với nhau.
Vậy \(\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)\).