Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng: \({n^2}\left( {n + 1} \right) + 2n\left( {n + 1} \right)\) luôn chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n\)
Phương pháp giải
+) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung.
+) Chứng minh chia hết cho \(2\), chia hết cho \(3\).
Lưu ý: Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(2\) và tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(3.\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({n^2}\left( {n + 1} \right) + 2n\left( {n + 1} \right)\)\(=(n+1)(n^2+2n)=(n+1)n(n+2)\) \( = n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\)
Vì \(n \) và \(n+1 \) là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 \(⇒ n\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)
Lại có \(n, n+1, n+2\) là \(3\) số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3 \(⇒ n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 3\)
Mà \(ƯCLN \left( {2;3} \right) = 1\)
Vậy \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots \left( {2.3} \right)\) hay \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 6.\)
+) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung.
+) Chứng minh chia hết cho \(2\), chia hết cho \(3\).
Lưu ý: Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(2\) và tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(3.\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({n^2}\left( {n + 1} \right) + 2n\left( {n + 1} \right)\)\(=(n+1)(n^2+2n)=(n+1)n(n+2)\) \( = n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\)
Vì \(n \) và \(n+1 \) là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 \(⇒ n\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)
Lại có \(n, n+1, n+2\) là \(3\) số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3 \(⇒ n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 3\)
Mà \(ƯCLN \left( {2;3} \right) = 1\)
Vậy \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots \left( {2.3} \right)\) hay \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 6.\)