Bài 22 trang 201 SGK Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh các đẳng thức sau

Câu a​

cos4​α –sin4​α  = 2cos2​α  - 1
Lời giải chi tiết:
Ta có:
cos4​α –sin4​α  = (cos2​α + sin2​α)(cos2​α – sin2​α)
= cos2​α – sin2​α = cos2​α – (1 – cos2​α) = 2cos2​α – 1

Câu b​

\(1 - {\cot ^4}\alpha  = {2 \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {{{\sin }^4}\alpha }} (\sin \alpha  \ne 0)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức  ${1 + {{\cot }^2}\alpha  = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}$
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 - {\cot ^4}\alpha  \cr 
& = \left({1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\left({1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)\cr &= {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}(1 - {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }}) \cr& = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}.\frac{{{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\cr &= {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - (1 - {{\sin }^2}\alpha)} \over {{{\sin }^2}\alpha }} \cr 
& = {{2{{\sin }^2}\alpha - 1} \over {{{\sin }^4}\alpha }} = {2 \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {{{\sin }^4}\alpha }} \cr} \)

Câu c​

\({{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {1 - {{\sin }^2}\alpha }} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha (\sin \alpha  \ne  \pm 1)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức  $1 + {\tan ^2}\alpha  = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {1 - {{\sin }^2}\alpha }} =  {{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} \cr &={1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} + {\tan ^2}\alpha \cr 
&  = 1 + {\tan ^2}\alpha  + {\tan ^2}\alpha \cr &= 1 + 2{\tan ^2}\alpha \cr} \)