Google
Câu hỏi: Giải bài 5 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng với mọi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha \le {180^o})\), ta đều có:
Phương pháp giải:
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\alpha = \widehat {xOM}\)
\(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}}; \cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}}; \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}; \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
Lời giải chi tiết:
Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)
Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.
Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha = \widehat {xOM}\)
Do đó: \(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}} = MH; \cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}} = OH.\)
\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = O{H^2} + M{H^2} = O{M^2} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l} \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}; \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\\ \Rightarrow \tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Với \(\alpha \ne {90^o}\) ta có:
\(\begin{array}{l} \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}; \\ \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}; \\ \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \end{array}\)
Câu a
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)Phương pháp giải:
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\alpha = \widehat {xOM}\)
\(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}}; \cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}}; \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}; \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
Lời giải chi tiết:
Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)
Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.
Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha = \widehat {xOM}\)
Do đó: \(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}} = MH; \cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}} = OH.\)
\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = O{H^2} + M{H^2} = O{M^2} = 1\)
Câu b
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1 ({0^o} < \alpha < {180^o},\alpha \ne {90^o})\)Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l} \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}; \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\\ \Rightarrow \tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\end{array}\)
Câu c
c) \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} (\alpha \ne {90^o})\)Lời giải chi tiết:
Với \(\alpha \ne {90^o}\) ta có:
\(\begin{array}{l} \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}; \\ \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \end{array}\)
Câu d
d) \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} ({0^o} < \alpha < {180^o})\)Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}; \\ \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \end{array}\)