Google
Câu hỏi: Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và \((\alpha)\) bằng 300.
a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi \((\alpha)\) và hình cầu.
b) Đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.
a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi \((\alpha)\) và hình cầu.
b) Đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.
Phương pháp giải
a) Thiết diện tạo bởi \((\alpha)\) và hình cầu là hình tròn, diện tích \(S = 4\pi {R^2}\).
b) Sử dụng các kiến thức hình học đã biết để tính độ dài AB.
Lời giải chi tiết
A) Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha)\).
Theo giả thiết ta có \(\displaystyle \widehat {OAH} = {30^0}\).
Do đó: \(\displaystyle HA = OA.\cos {30^0} = r{{\sqrt 3 } \over 2}\)
Vậy diện tích của thiết diện tạo bởi \(\displaystyle (\alpha)\) và hình cầu là: \(\displaystyle S = \pi. H{A^2} = {{3\pi {r^2}} \over 4}\).
b) Mặt phẳng (ABO) qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có \(\displaystyle OI \bot AB\) . Vì AB // OH nên AIOH là hình chữ nhật.
Do đó \(\displaystyle AI = OH = {{OA} \over 2} = {r \over 2}\).
Vậy \(AB = 2AI = r\).
Chú ý: Có thể nhận xét rằng tam giác OAB cân tại O (OA = OB) và có góc \(\displaystyle \widehat {OAB} = {60^0}\) nên OAB là tam giác đều và suy ra AB = OA = OB = r.
a) Thiết diện tạo bởi \((\alpha)\) và hình cầu là hình tròn, diện tích \(S = 4\pi {R^2}\).
b) Sử dụng các kiến thức hình học đã biết để tính độ dài AB.
Lời giải chi tiết
A) Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha)\).
Theo giả thiết ta có \(\displaystyle \widehat {OAH} = {30^0}\).
Do đó: \(\displaystyle HA = OA.\cos {30^0} = r{{\sqrt 3 } \over 2}\)
Vậy diện tích của thiết diện tạo bởi \(\displaystyle (\alpha)\) và hình cầu là: \(\displaystyle S = \pi. H{A^2} = {{3\pi {r^2}} \over 4}\).
b) Mặt phẳng (ABO) qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có \(\displaystyle OI \bot AB\) . Vì AB // OH nên AIOH là hình chữ nhật.
Do đó \(\displaystyle AI = OH = {{OA} \over 2} = {r \over 2}\).
Vậy \(AB = 2AI = r\).
Chú ý: Có thể nhận xét rằng tam giác OAB cân tại O (OA = OB) và có góc \(\displaystyle \widehat {OAB} = {60^0}\) nên OAB là tam giác đều và suy ra AB = OA = OB = r.