Google
Câu hỏi: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\)
b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và \(b = c\)
c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và \(b = c\)
a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\)
b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và \(b = c\)
c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và \(b = c\)
Phương pháp giải
- Dựng tâm hình cầu (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trung trực của đoạn thẳng SA)
- Tính bán kính dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
\(\widehat {BAC} = {90^0}\). Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC
Và \({r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {({a \over 2})^2} + {({b \over 2})^2} + {({c \over 2})^2}\)
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \(r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC và r2 = OA2 = OI2 + IA2
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có
\({r^2} = {({a \over 2})^2} + {({2 \over 3}b{{\sqrt 3 } \over 2})^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}\) . Vậy \(r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}} \)
c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200 và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.
Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có: OS = OA = OB = OC và \({r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {({a \over 2})^2} + {b^2}\)
Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính \(r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {b^2}} \)
- Dựng tâm hình cầu (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trung trực của đoạn thẳng SA)
- Tính bán kính dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
\(\widehat {BAC} = {90^0}\). Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC
Và \({r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {({a \over 2})^2} + {({b \over 2})^2} + {({c \over 2})^2}\)
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \(r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC và r2 = OA2 = OI2 + IA2
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có
\({r^2} = {({a \over 2})^2} + {({2 \over 3}b{{\sqrt 3 } \over 2})^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}\) . Vậy \(r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}} \)
c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200 và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.
Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có: OS = OA = OB = OC và \({r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {({a \over 2})^2} + {b^2}\)
Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính \(r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {b^2}} \)