Google
Câu hỏi: Hình chóp S. ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. CDE.
Phương pháp giải
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và mặt phẳng trung trực của SE)
- Tính toán dựa trên các kiến thức hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
Tam giác CED là tam giác vuông cân tại E nên trục của đường tròn đi qua ba điểm C, E, D là đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng CD và song song với SA.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC. Ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của đoạn SE.
Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. CDE chính là giao điểm của \(\displaystyle \Delta \) và mp(ABNM).
Gọi K là trung điểm của AB thì KN // AM và do đó KN //(SAE). Ta có IK // AD nên IK // (SAE).
Vậy KN và \(\displaystyle \Delta \) đồng phẳng và ta có O là giao điểm cần tìm.
Chú ý rằng OIK là tam giác vuông cân, vì \(\displaystyle \widehat {OKI} = \widehat {MAE} = {45^0}\)
Ta có OI = IK, trong đó \(\displaystyle IK = {{BC + AD} \over 2} = {{a + 2a} \over 2} = {{3a} \over 2}\)
Vậy \(\displaystyle O{C^2} = O{I^2} + I{C^2} = {{9{a^2}} \over 4} + {{2{a^2}} \over 4}\) (vì \(\displaystyle CD = a\sqrt 2; IC = {{CD} \over 2}\)).
Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. CDE là: \(\displaystyle r = OC = {{a\sqrt {11} } \over 2}\).
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và mặt phẳng trung trực của SE)
- Tính toán dựa trên các kiến thức hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
Tam giác CED là tam giác vuông cân tại E nên trục của đường tròn đi qua ba điểm C, E, D là đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng CD và song song với SA.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC. Ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của đoạn SE.
Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. CDE chính là giao điểm của \(\displaystyle \Delta \) và mp(ABNM).
Gọi K là trung điểm của AB thì KN // AM và do đó KN //(SAE). Ta có IK // AD nên IK // (SAE).
Vậy KN và \(\displaystyle \Delta \) đồng phẳng và ta có O là giao điểm cần tìm.
Chú ý rằng OIK là tam giác vuông cân, vì \(\displaystyle \widehat {OKI} = \widehat {MAE} = {45^0}\)
Ta có OI = IK, trong đó \(\displaystyle IK = {{BC + AD} \over 2} = {{a + 2a} \over 2} = {{3a} \over 2}\)
Vậy \(\displaystyle O{C^2} = O{I^2} + I{C^2} = {{9{a^2}} \over 4} + {{2{a^2}} \over 4}\) (vì \(\displaystyle CD = a\sqrt 2; IC = {{CD} \over 2}\)).
Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. CDE là: \(\displaystyle r = OC = {{a\sqrt {11} } \over 2}\).