Google
Câu hỏi: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha $ sao cho $\cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ được thiết diện là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $4\sqrt{3}$. Thể tích khối nón đã cho bằng
A. $15,8$.
B. $37,5$.
C. $47,4$.
D. $15,7$.
Gọi thiết diện của hình nón và mặt phẳng qua đỉnh $S$ của hình nón là tam giác $SAB$
Từ giả thiết suy ra tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và có cạnh huyền $AB=4\sqrt{3}$
$\Rightarrow SA=SB=2\sqrt{6}; SM=\dfrac{AB}{2}=2\sqrt{3}$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khi đó góc giữa mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và đáy là $\alpha =\widehat{SMO}$
Xét tam giác vuông $SMO: \cos \alpha =\dfrac{MO}{SM}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{MO}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow MO=2$
Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình nón là $r=OA=\sqrt{O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{4+12}=4$
( với $O$ là tâm đường tròn đáy của hình nón)
Chiều cao của hình nón là $h=SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-M{{O}^{2}}}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón đã cho là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .16.2\sqrt{2}\approx 47,4$.
A. $15,8$.
B. $37,5$.
C. $47,4$.
D. $15,7$.
Từ giả thiết suy ra tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và có cạnh huyền $AB=4\sqrt{3}$
$\Rightarrow SA=SB=2\sqrt{6}; SM=\dfrac{AB}{2}=2\sqrt{3}$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khi đó góc giữa mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và đáy là $\alpha =\widehat{SMO}$
Xét tam giác vuông $SMO: \cos \alpha =\dfrac{MO}{SM}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{MO}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow MO=2$
Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình nón là $r=OA=\sqrt{O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{4+12}=4$
( với $O$ là tâm đường tròn đáy của hình nón)
Chiều cao của hình nón là $h=SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-M{{O}^{2}}}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón đã cho là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .16.2\sqrt{2}\approx 47,4$.
Đáp án C.
