Bài 2.17 trang 61 SBT hình học 12

Phương pháp giải
- Chứng minh
- Viết công thức tính diện tích tam giác BCD và suy ra GTLN.
- Nhận xét: H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông, từ đó suy ra quỹ tích.
Lời giải chi tiết

A) Tam giác ADC vuông tại A nên AD2​ = DC2​ – AC2​  (1)
Tam giác ABC vuông tại A nên  BC2​ = AC2​ + AB2​  (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra AD2​ + BC2​ = DC2​ + AB2​  (3)
Ta lại có:
AC2​ = DC2​ – AD2​   và BD2​ = AD2​ + AB2​   (4)
DC2​ = 4(r2​ – h2​)   , AB2​ = 4h2​   (5)
Từ (4) và (5) ta có:
AC2​ + BD2​ =DC2​ + AB2​ = 4(r2​ – h2​) + 4h2​ = 4r2​  (6)
Từ (3) và (6) ta có: AD2​ + BC2​ = AC2​ + BD2​(không đổi)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD.
Diện tích tam giác BCD bằng
Ta thấy, không đổi nên đạt GTLN khi BH lớn nhất và bằng BI.
Tức là
Vậy diện tích tam giác BCD lớn nhất khi AI CD.
c) Ta có


Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông.
Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng .